De rede is dat proces dat waarheid nastreeft. Het onderscheidt zich van de onrede, de onzin, doordat deze altijd zichzelf toetst aan de realiteit. Wanneer ik zeg dat het zonnig is, is het wel redelijk om dat te beweren wanneer de hemel donker is? Wanneer ik zeg dat ik honger heb, is het wel redelijk om dat te zeggen wanneer ik net mijn maag volledig vol heb gegeten? De rede waarborgt een zekere verbondenheid met de realiteit, opdat we die niet zouden verliezen in dingen die geen steek meer houden. Dit kan immers in extreme gevallen leiden tot waanzin; wanneer we echte niet meer van het onechte weten te onderscheiden en net als Dante in een donker bos terechtkomen waar schijnbaar geen weg naar buiten is.

Beeldt u zich in dat u een redenering aan het maken bent. Zo kan u bijvoorbeeld nadenken over of u de planten moet water geven. Eerst denkt u aan het weer. Dan besluit u dat als het weer zonnig is, dat u wel de planten wel zal moeten water geven. Echter, indien het zal regenen, is de regen misschien niet genoeg om de planten volledig in hun behoeften te voorzien, maar u moet ook voorzichtig zijn om ze niet te veel water te geven. Er ontstaat met andere woorden een nieuwe mogelijkheid die u tot dan toe nog niet gezien had: de planten maar een beetje water geven. Maar hoe veel water moeten ze dan krijgen? Elke mogelijkheid die u aftast geeft weer aanleiding tot iets nieuw, en dit proces kan abstract voorgesteld worden als een beslissingsboom. De redenering start vanboven, volgt de pijlen en stelt zichzelf constant de vraag of dit de juiste oplossing is. Het is op die manier dat men bijvoorbeeld uitkomt bij 2: de planten water geven. Of anders bijvoorbeeld bij 4: de planten een half gietertje geven.

De logica

De logica is een methode om een redenering formeel op te schrijven. De logica werd uitgevonden door Aristoteles, die als eerste het begrip van het syllogisme beschreef. Dat is een simpele redeneervorm waarbij men uitgaat van twee premissen om tot een conclusie te komen. Hoewel het in de dagelijkse taal vaak gebruikt wordt, had tot dan toe had niemand eraan gedacht om dit op te schrijven. Een syllogisme kan er als volgt uitzien:

Alle mensen zijn sterfelijk. (premisse 1)
Socrates is een man. (premisse 2)
Bijgevolg is Socrates sterfelijk. (conclusie)

Een syllogisme is slechts een enkel voorbeeld van wat men een logische redeneervorm noemt. Tegenwoordig is het gebied van de logica vele malen rijker dan in de Oudheid het geval was. Men kent een aantal formele systemen, die altijd met lichtjes andere aannamen volledig logische raamwerken uitdenken. Een klein overzicht.

Propositielogica

De propositielogica is de meest gekende en ook de meest eenvoudige logica. In eenvoud zit kracht. Deze logica komt soms in een of andere vorm terug in andere logische systemen, waarin deze zit ingebed (zoals de predikatenlogica).

• $latex \lnot$, de negatie (“Socrates is geen filosoof”)
• $latex \lor$, de inclusieve disjunctie (“Socrates of Plato is een filosoof, en ze kunnen het ook beiden zijn”)
• $latex \oplus$, de exclusieve disjunctie (“Ofwel is Socrates filosoof, ofwel Plato, maar niet beiden”)
• $latex \downarrow$, de omgekeerde inclusieve disjunctie (“Het kan niet zijn dat ofwel Socrates ofwel Plato filosoof is, en ook niet beiden tegelijk”)
• $latex \land$, de conjunctie (“Socrates en Plato zijn beiden filosoof”)
• $latex \uparrow$, de omgekeerde conjunctie (“Socrates en Plato zijn niet beiden filosoof”)

Men geeft aan verschillende uitspraken proposities, die worden voorgesteld door een letter. Zo kan men bijvoorbeeld $latex p \lor \lnot q$ koppelen aan twee proposities, waarbij men zegt dat p staat voor “Socrates is een filosoof” en q voor “Plato is een filosoof”. De uitspraak $latex p \lor \lnot q$ leest dan in de Nederlandse taal als: “Socrates is een filosoof maar Plato niet.”. Is deze uitspraak juist? Dat maakt in principe niet uit. De waarheid van een uitspraak kan altijd nagegaan worden, maar het is op zich toegelaten om zinnen te maken waarvan de uitspraak niet noodzakelijk waar is. Dit zal ook nog terugkomen in het “bewijs uit het ongerijmde”.

Predikatenlogica

De predikatenlogica breidt het logisch systeem van de propositielogica uit met een systeem van kwantoren, die worden aangeduid met $latex \exists$ en $latex \forall$. Deze twee kwantoren stelt de wiskundige in staat om meer verfijnde uitspraken te doen over de proposities die we in vorig onderdeel zijn tegengekomen. Deze worden als het ware opgebroken: in plaats van de proposities te beschouwen als vaste, onveranderlijke uitspraken, splitst men deze op in objecten en functies. Men kan zeggen “Alle mensen die Socrates heten zijn filosoof”, of “Er bestaat een man die Socrates heet en filosoof is.”. De kracht van het logisch systeem neemt toe, omdat het zaken in meer detail kan uitdrukken. Neem p als het eten van vlees en q als het eten van groenten. Dan kan men bijvoorbeeld volgende uitspraken maken:

• $latex \forall y: \lnot p(y)$ (“Voor alle filosofen geldt dat deze niet graag vlees eten”)
• $latex \exists x, \forall y: p(x) \land q(y)$ (“Er bestaat een filosoof die, vergeleken met alle andere filosofen, graag vlees eet terwijl de anderen graag groenten eten”)

De predikatenlogica wordt veel gebruikt in de exacte wiskunde, waar het de basis vormt voor veel van de wiskundige stellingen die wij als vanzelfsprekend beschouwen.

Andere logische systemen

Er bestaan veel andere logische systemen, maar die beschrijven zou ons te ver buiten de context brengen. Zo heeft men bijvoorbeeld een logisch systeem uitgedacht dat aan uitspraken een zekere kans toekent, zonder dat uitspraak ofwel waar ofwel onwaar moet zijn. Ook heeft men in de jaren ’50 zo iets als de lambda-calculus uitgevonden, waarmee men uitspraken kan maken over een berekening of computatie, hetgeen aanleiding heeft gegeven tot nieuwe programmeertalen. De systemen die hier werden beschreven zijn echter fundamenteel, en worden gegeven in tal van inleidende cursussen aan universiteiten wereldwijd.

Bewijsvormen

In de logica, net zoals in de wiskunde, tracht men zaken te bewijzen. Men tracht waarheden te vinden die niet veranderen in de tijd. Constanten, die juist blijven ongeacht hoe men deze invult. Het volgende is een voorbeeld van zo een bewezen stelling:

$latex p \lor \lnot p$

Het leest: “Een gegeven uitspraak is waar of is niet waar.” Zo kan men bijvoorbeeld zeggen dat Plato filosoof is of geen filosoof. Hiermee heeft men eigenlijk niets gezegd. Men heeft enkel en alleen een uitspraak gemaakt die niet ontkracht kan worden. “Maar hij is wel filosoof!”, kan je dan zeggen. “Dat is toch wat ik zei?”, zal je als antwoord krijgen. “Maar hij is geen filosoof!”, kan iemand anders beweren. “Dat is toch wat ik zei?”, zal die weer als antwoord krijgen. Uitspraken die altijd gelden bevatten in essentie geen informatie. Ze bepalen niets in de wereld; ze bestaan gewoon. Toch kunnen ze ontzettend nuttig zijn, en heeft men niet voor niets een groot deel van tijd en energie toegewijd aan het vinden van zulke waarheden.

Rechtstreeks bewijs

Een rechtstreeks bewijs is een bewijs dat gebruik maakt van inductief redeneren. Hierbij maakt men gebruik van bestaande waarheden, definities en stellingen, om de uitspraak die bewezen dient te worden om te zetten naar een equivalente uitspraak waar men veel makkelijker de waarheid van kan inzien.

Een voorbeeld van een rechtstreeks bewijs is de geldige uitspraak dat de som van twee even gehele getallen altijd even is. Immes, neem a en b als twee gehele getallen, die in de vorm $latex a = 2x$ en $latex b = 2y$ kunnen geschreven worden. De som $latex a + b$ is dan gelijk aan $latex 2x + 2y$. Dankzij de wet van distributiviteit kan men de factor 2 uit de formule halen, wat $latex 2(x + y)$ oplevert. Dit is een even getal. Stelling bewezen.

Rechtstreekse bewijsvormen kunnen gecombineerd worden met andere bewijsvormen om de waarheid van een stelling aan te duiden. $latex a \iff b$ kan bijvoorbeeld bewezen worden door eerst a aan te nemen, en daar b uit te bewijzen, en daarna b aan te nemen en daaruit a te bewijzen. Hierbij maakt men gebruik van het geven dat $latex a \iff b$ equivalent is aan $latex (a \Rightarrow b) \land (b \Rightarrow a)$. De stelling van de vorm $latex p \Rightarrow q$ kan men dan bewijzen aan de hand van een bewijs door contrapositie.

Bewijs door contrapositie

Een bewijs door contrapositie is eigenlijk niets meer dan het gebruik maken van het feit dat $latex p \Rightarrow q$ bewijzen equivalent is aan $latex \lnot q \Rightarrow \lnot p$ bewijzen. Men mag altijd de eerste formule vervangen door de tweede, en in de praktijk blijkt het dat het vaak vele malen makkelijker is om te werken met de tweede formule.

Stel dat je het intuïtieve gevoel hebt dat wanner $latex x^2$ even is, dat x even is. Dan kan je bijvoorbeeld contrapositie toepassen door te stellen dat wanneer x niet even is, dat $latex x^2$ dat ook niet is. Dan wordt het bewijs vrij eenvoudig: het product van twee nummers is oneven, dus dan moet het product $latex x^2$ van x met zichzelf ook oneven zijn. Stelling bewezen.

Bewijs uit het ongerijmde

Het reductio ad absurdum, Latijn voor “herleiding tot het absurde”, is een van mijn favoriete bewijstechnieken. Kort samengevat tracht men iets te bewijzen door het omgekeerde aan te nemen van wat men tracht te bewijzen, en daaruit te concluderen dat dat onzin is. Dan kan alleen de oorspronkelijke stelling waar zijn; het omgekeerde van het omgekeerde. Via dit geniepig trucje kan men dus de originele stelling toch nog bewijzen.

Veronderstel ad absurdum dat $latex \sqrt{2}$ een rationaal getal is; dat het met andere woorden geschreven kan worden als $latex \frac{a}{b}$ waarbij a en b geen factoren gemeenschappelijk hebben. Dan kan men a schrijven in termen van b als $latex \sqrt{2}b$. Een beetje wiskunde geeft $latex a^2 = 2b^2$. Dankzij de stelling die we bewezen hebben in vorig onderdeel weten we dat a een even getal is en geschreven kan worden als 2c. Wanneer we dan de vergelijking $latex \sqrt{2} = \frac{a}{b}$ oplossen naar de andere kant en we inbrengen wat we net hebben geleerd (namelijk dat a even is), krijgen we het bizarre $latex 2b^2 = (2c)^2$. Beide leden delen door twee geeft $latex b^2 = 2c^2$, wat impliceert dat b even is. “Twee nummers van een breuk die even zijn, dat kan niet!”, hoor ik u zeggen. En inderdaad, dit is in tegenspraak met onze aanname dat a en b geen factoren gemeenschappelijk hebben. Een contradictie, dus moet de originele stelling wel waar zijn. Stelling bewezen.

Andere bewijsvormen

Er zijn nog andere bewijsvormen, die we echter hier niet zullen bespreken. Zo bestaat er nog het bewijs met behulp van inductie en het bewijs door gevalsonderscheiding. Deze technieken zijn opgenomen in alle standaardwerken over de wiskunde en de logica, dus is het overbodig om ze hier nogmaals te herhalen. We richten onze blik nu op heuristieken, een manier om om te gaan met beperkte informatie en toch beslissingen te nemen.

Heuristieken

Daar dat iedere mens over een fenomenaal redeneervermogen beschikt, maar dat vermogen tegelijkertijd ook zijn grenzen heeft, moet men vroeg of laat “kortere wegen” verzinnen, waarvan men niet altijd zeker kan zijn dat ze naar de correcte oplossing leiden, maar die wel makkelijker om te nemen zijn. Zulke “kortere wegen” noemt men heuristieken, naar het Griekse heuriskein (“ik heb het gevonden”). Een heuristiek is een manier om bepaalde paden in de gedachten snel te elimineren; om bepaalde paden uit de weg te gaan of om ze juist de voorkeur te geven. Heuristieken zijn essentieel in het dagdagelijkse leven, waarin men zeer efficiënt en zeer vlug bepaalde beslissingen moet maken. Ze zorgen er bovendien voor dat we grip op de realiteit krijgen, want mocht men met alles rekening moeten houden, dan zou men niet meer kunnen bestaan.

Ockhams scheermes

De lex parsimoniae, Latijn voor “wet van de spaarzaamheid”, is een heuristiek dat gebruikt kan worden bij het maken van redeneertrajecten. Stelt men de beslissingen die men op ieder moment kan maken voor als een boom, dan is het mogelijk dat die boom snel fenomenaal veel mogelijkheden op ieder niveau bijkrijgt. Willem van Ockham vatte dit eeuwen geleden samen in het Latijnse entia non sunt praeter necessitatem multiplicanda: “men moet de zijnden niet zonder noodzaak verveelvoudigen”. Men moet met andere woorden niet zomaar dingen ingewikkelder maken dan nodig is, en er ook geen zaken bij verzinnen als daar geen reden voor is.

Stelt u zich voor dat u twee personen tegen het lijf loopt, waarbij de linkse zegt dat de aarde plat is omdat deze via de kennis van een vriend heeft gehoord dat er een grote schildpad is die de wereld draagt, en deze alleen kan dragen indien de wereld plat is, terwijl de andere beweert dat de aarde rond is, omdat hij simpelweg de valhoek van de aarde met de zon op verschillende plaatsen heeft gemeten. In dat geval zou de \textit{lex parsimoniae} u aanraden om het rechtse te denken. Het is eenvoudiger, en maakt geen kronkelingen doorheen het donkere woud van de mythen.

Meer wiskundig gezien kan Ockhams scheermes beschouwd worden als het vinden van het “kortste pad} in een graaf. Men zoekt een weg, een \say{verklaring}, die alle mogelijke feiten dekt met het minste aantal omwegen. Onze hersens zijn daar in zekere mate op afgesteld, omdat dat ook onze kansen om te overleven verhoogt, en omdat er een zekere aantrekkingskracht zit in de simpliciteit van zulke beweringen. Ook onze neurale circuits in onze hersenen trachten te proberen een zo energiezuinige configuratie te vormen, en dat veronderstelt een zekere eenvoud.

Conclusie

De technieken die hier verteld werden geven een ontzettend beknopt overzicht van de menselijke rede. Deze technieken zijn van groot belang in het dagdagelijks leven, en komen in tal van wetenschappelijke disciplines direct of indirect aan bod. Wanneer men filosofeert, is het zeer belangrijk om deze zaken in gedachten te houden.